Senin, 19 Januari 2015

Model Program Linier

Model Kombinasi Produk
Quick-Screen merupakan perusahaan garmen yang khusus memproduksi kaus dalam pertandingan akbar, seperti misalnya World Cup. Perusahaan ini telah dikontrak untuk membuat kaos standar dengan gambar negara pemenang. Kaos yang diproduk si terdiri dari dua jenis, yakni kaos lengan panjang dengan gambar di satu sisi (depan) dan dengan gambar di dua sisi (depan dan belakang), jenis kedua adalah kaos lengan pendek dengan bentuk gambar serupa. Perusahaan harus menyelesaikan seluruh produksinya 72 jam setelah pertandingan final usai, di mana akan datang truk untuk mengangkut kaos tersebut. Perusahaan harus menyelesaikan produksi tepat waktu. Truk pengangkut memiliki kapasitas muatan sebanyak 1200 kardus ukuran standar. Satu box ukuran standar berisi 12 kaos lengan pendek, sementara satu kardus lengan panjang berukuran 3 kali lebih besar. Perusahaan memiliki dana $25.000 untuk memproduksi kaos, dan juga memiliki kaos lengan pendek & panjang polos masing2 500 lusin yang siap disablon. Persyaratan sumber daya, biaya, dan keuntungan per lusin untuk tiap jenis kaos disajikan pada tabel berikut :
Model Kombinasi Produk Lanjutan



Waktu Proses (hr)   per lusin           
Biaya ($)  per lusin           
Keuntungan ($)per lusin           
Kaos lengan panjang
Satu sisi
0,10
36
90

Kaos lengan panjang
Dua sisi
0,25
48
125
Kaos lengan pendek
Satu sisi
0,08
25
45

Kaos lengan pendek
Dua sisi
0,21
35
65






















Perusahaan ingin mengetahui berapa lusin (kardus) tiap jenis kaos harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan ?
Formulasi Model Kombinasi Produk
·         Variabel keputusan
                Masalah ini memiliki 4 variabel keputusan, yakni :
                X1 = jumlah produksi kaos l. panjang gambar 1 sisi (lusin)
                X2 = jumlah produksi kaos l. panjang gambar 2 sisi (lusin)
                X3 = jumlah produksi kaos l. pendek gambar 1 sisi (lusin)
                X4 = jumlah produksi kaos l. pendek gambar 2 sisi (lusin)
·         Fungsi tujuan
                Maksimalkan Z = $ 90X1 + 125X2 + 45X3 + 65X4
                dengan Z adalah keuntungan.
·         Berdasarkan kendala
                0.1X1+0.25X2+0.08X3+0.21X4 £ 72         waktu produksi
                   3X1+    3X2+      X3+      X4  £ 1200     kapasitas truk
                36X1 +   48X2+  25X3+  35X4  £ 25000   dana yang tersedia
                   X1  +      X2                         £ 500      sediaan kaos panjang
                                X3+      X4  £ 500      sediaan kaos pendek
                X1, X2, X3, X4 ³ 0
Model Pemasaran
Perusahaan menganggarkan $8.000 per minggu untuk iklan pada 4 media: TV, Koran, Radio di Ibu kota, dan Radio di beberapa kota besar lainnya. Jangkauan iklan, biaya, dan batasan maksimum periklanan pada keempat media disajikan pada tabel berikut.  Perusahaan menetapkan beberapa rancangan :
                                i.  Minimal ada 5 spot iklan di radio
                                ii. Tidak lebih dari $1.800 dana dialokasikan pada
                                                            media radio.
                Perusahaan menginginkan jangkauan audience sebanyak-banyaknya melalui berbagai media iklan.
                Buat model matematisnya dan cari solusi optimalnya ?
Media

Daya jangkau (orang)

Biaya per iklan ($)

Iklan Maksimum per Minggu

TV (per mnt)

5.000

800

12

Koran (per halaman)

8.500

925

5

Radio 1 (per 30 detik)

2.400
190
25
Radio 2 (per mnt)

2.800
380
20
Formulasi Model Pemasaran
Variabel keputusan :
                X1 = lamanya iklan lewat TV (menit)
                X2 = banyaknya iklan lewat koran (halaman)
                X3 = lamanya iklan lewat radio Ibu-Kota (per 30 detikdetik)
                X4 = lamanya iklan lewat radio di beberapa kota besar (per menit)
Fungsi tujuan :
maksimumkan Z = 5000X1 + 8500X2 + 2400X3 + 2800X4
                Z : jangkauan audience (orang)
Berdasarkan kendala :
                800X1 + 925X2 + 190X3 + 380X4   £  8000  ®  dana yg dianggarkan
                      X1                                     £  12  ® iklan TV maksimum/ minggu
                                           X2                                £   5  ® iklan koran  maks/minggu
                                                          X3                  £  25  ® maksimum iklan radio                                                                                                  Ibukota/minggu
                                                                 X4   £  20  ® maksimum iklan radio di
                                                                                                                beberapa kota besar
                                                          X3 + X4   ³   5  ® jumlah iklan radio
                                                190X3 + 380X4   £  1800  ® alokasi biaya maks. Iklan
                                                                     radio
                X1, X2, X3, X4 ³ 0
Solusi Model Pemasaran
Solusi menggunakan software POM for Windows,
diperoleh :
                X1 = 2 (dibulatkan), X2 = 5, X3 = 9, X4 = 0, dan Z = 74100 (dibulatkan)
Artinya perusahaan harus mengiklankan usahanya setiap minggunya di TV selama 2 kali (masing2 1 menit), di koran 5 kali dalam seminggu (masing2 1 halaman), di radio Ibu-kota 9 kali dalam seminggu (masing2 selama 30 detik), tidak perlu mengiklankan lewat radio di kota2 besar, agar diperoleh jangkauan audience yang maksimal sebesar 74100.
Model Investasi
Kathleen Allen mempunyai dana $70.000 untuk diinvestasikan dalam beberapa pilihan, yakni : obligasi pemerintah sertifikat deposito dengan tingkat pengembalian, treasury bill, dan obligasi pendapatan, masing2 dengan tingkat pengembalian berturut-turut 8,5%, 5%, 6,5%, dan 13%. Jumlah waktu jatuh tempo sama untuk setiap pilihan. Akan tetapi, setiap pilihan mempunyai perbedaan risiko yang terlihat oleh investor. Oleh karena itu, investor sebaiknya melakukan diservifikasi. Investor ingin mengetahui berapa jumlah yang harus diinvestasikan pada setiap pilihan sehingga dapat memaksimalkan tingkat pengemba lian. Berikut ini pedoman dalam melakukan disersivikasi yang akan mengurangi risiko : 1) Tidak lebih dari 20% dari total investasi dalam bentuk obligasi pendapatan; 2) Jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito tidak melebihi jumlah yang diinvestasikan dalam ketiga pilihan yang lain; 3) Paling sedikit 30% investasi dalam bentuk treasury biil; 4) Agar aman, perbandingan investasi pada sertifikat deposito dan treasury bill dengan investasi dalam obligasi pemerintah dalam saham harus paling tidak 1,2 : 1.
                Kathleen merencanakan untuk menginvestasikan seluruh dana
Formulasi Model Investasi
·         Variabel keputusan
                                X1 = jumlah yang diinvestasikan dalam obligasi pemerintah ($)
                                X2 = jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito ($)
                                X3 = jumlah yang diinvestasikan dalam treasury bill ($)
                                X4 = jumlah yang diinvestasikan dalam obligasi pendapatan ($)
·         Fungsi tujuan
                                Maksimalkan Z = $ 0.085X1 + 0.05X2 + 0.065X3 + 0.13X4
                                                Z = total pengembalian investasi
·         Berdasarkan kendala :
                                1) X1 £  14,000   ®               (tidak lebih dr. 20% total investasi)
                                2) X2 £ X1 + X3 + X4 atau X1 – X2+X3+X4 ³® jumlah yang diinvestasi-                kan dalam sertifikat deposito tidak melebihi jumlah ke 3 pilihan yg lain
3) X2 + X3 ³ 21,000   ® jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito        dan treasury bill paling tidak 30% dari dana yang tersedia
                4) (X2+X3)/(X1+X4) ³ 1.2 atau X2 + X3 ³ 1.2(X1 + X4) atau
– 1.2X1 + X2 + X3 – 1.2X4 ³® perbandingan jumlah diinvestasikan      dalam sertifikat deposito dan treasury bill dengan obligasi pemerintah               dan obligasi pendapatan paling tidak 1.2 : 1
                5) X1 + X2 + X3 + X4 £ 70,000 ® dana yang akan diinvestasikan
                6) X1, X2, X3, X4 ³ 0
Model Program Diet / Campuran Resep
Perusahaan Soutfork Feed Co, memproduksi produk pakan yang merupakan campuran dari 4 macam bahan : gandum, jagung, kedelai, dan suplemen vitamin.
Perusahaan itu memiliki stok gandum 300 lbs, jagung 400 lbs, kedelai 400 lbs, dan vitamin 100 lbs. resep campuran pakan adalah sebagai berikut : (1) minimal mengandung 30% kedelai; (2) minimal mengandung 20% vitamin; (3) perbandingan antara jagung dengan gandum tidak boleh melebihi 2 : 1; (4) jumlah gandum tidak boleh melebihi jumlah kedelai; volume total campuran minimal 500 lbs.
1 lb gandum berharga $ 0,5; 1 lb jagung $ 1,20; 1 lb kedelai $ 0,60; sedangkan vitamin berharga $ 2,0 per lb. Perusahaan ingin menentukan jumlah optimal dari setiap bahan sesuai dengan resep campuran dengan biaya paling minimal.
                a) formulasikan model program linier untuk masalah ini.
                b) hitung solusi optimal dari model dengan menggunakan komputer.
Solusi :
`               (a)          Formulasi model program linier
                                variabel keputusan:
                                x1 : jumlah campuran gandum (lb)
                                x2 : jumlah campuran jagung (lb)
                                x3 : jumlah campuran kedelai (lb)
                                x4 : jumlah campuran vitamin (lb)
                                Fungsi tujuan : minimumkan z = 0,5x1 + 1,2x2 + 0,6x3 + 2,0x4,
                                dengan z : biaya membuat campuran pakan.
                                Berdasarkan kendala :
1)      - 3x1 – 3x2 + 7x3 – 3x4 ³ 0 ®  minimal mengandung 30% kedelai
2)      -   x1 –  x2  –  x3 + 4x4 ³ 0 ®  minimal mengandung 20% vitamin
3)         2x1 -  x2                   ³ 0 ®  perbandingan antara jagung dengan
                                                     gandum tidak boleh melebihi 2 : 1
4)      -   x1         +  x3          ³ 0 ®  jumlah gandum tidak boleh melebihi
                                                     kedelai
5)      X1   + x2   + x3   + x4  ³ 500 ® volume total campuran paling
                                                             sedikit 500 lbs
                x1, x2, x3, x4 ³ 0                   ® kendala non negatip.

(b) Solusi menggunakan software POM for Windows, diperoleh :
                x1 = 200, x2 = 0, x3 = 200, x4 = 100, dan z minimum = 420.
Artinya untuk memproduksi pakan dengan biaya yang paling murah
(minimum) sebesar $ 420 adalah campuran : 200lb gandum, tanpa
campuran jagung, 200 lb kedelai, dan 100 lb suplemen vitamin.
Model Analisis Kumpulan Data (DEA)
Sebagai implementasi dari sebuah undang2 yang baru dikeluarkan, seorang anggauta konggres dari suatu distrik mendapat alokasi anggaran sebesar $4 juta untuk beberapa program & proyek. Menjadi kewenangan anggauta kongres untuk melakukan distribusi penggunaan dana tersebut. Berdasarkan tingkat kepentingan terhadap pembangunan distrik dia telah menetapkan bahwa dana tersebut akan dialokasikan pada 4 buah proyek yang saat ini telah berjalan, yakni program pelatihan kerja, proyek taman kota, proyek sanitasi, dan perpuskaan keliling.  Walaupun demikian anggauta kongres tersebut ingin memastikan bahwa  pembagian dana tersebut akan memberikan kepuasan yang paling besar untuk para pemilihnya, dengan kata lain pembagian itu harus dapat meningkatkan perolehan suara yang paling besar pada pemilu yang akan datang. Oleh karena  itu, para stafnya telah melakukan riset tentang seberapa besar potensi masing2  proyek untuk dapat mendulang suara bagi sang anggauta kongres. Didapatkan  hasil penelitian tentang berapa besar suara yang dapat didapatkan untuk setiap dolar yang diinvestasikan pada setiap proyek sebagai berikut :
Proyek
Jumlah suara/dolar
Pelatihan kerja
0.02 
Taman
 0.09
Sanitasi
0.06
Perpustakaan   
0.04






Selain itu terdapat beberapa kendala yang harus dipenuhi berkaitan dengan aspirasi dari beberapa tokoh2 yang berpengaruh dan juga merupakan penyandang dana utama kampanyenya :
          Tidak boleh ada proyek yang mendapatkan lebih dari 40% alokasi dana
          Jumlah alokasi dana untuk taman tidak boleh melebihi total alokasi untuk sanitasi dan perpustakaan keliling.
          Jumlah alokasi untuk pelatihan kerja harus paling sedikit sama dengan alokasi dana untuk proyek sanitasi.
Semua dana harus habis terbagikan
Variabel keputusan :
                x1 : jumlah dana yang dialokasikan pada program pelatihan kerja
                x2 : jumlah dana yang dialokasikan pada program taman kota
                x3 : jumlah dana yang dialokasikan pada program sanitasi
                x4 : jumlah dana yang dialokasikan pada program pelatihan kerja
Fungsi tujuan : maksimalkan z = 0.02x1 + 0.09x2 + 0.05X3 + 0.04x4
z : kontribusi dana dalam rangka mendapatkan suara pada pemilu mendatang.
Berdasrkan kendala :
                x1                                                                           £ 1.6
                      x2                                                     £ 1.6
                                      x3                                                     £ 1.6
                                                x4                                           £ 1.6
                      x2     – x3 – x4                                               £ 0
                x1           -  x3                                        ³ 0
                x1 + x2 + x3  + x4                                              = 4
                x1, x2, x3, x4 ³ 0
Solusi menggunakan software POM for Windows, diperoleh :
                x1 = 0.4, x2 = 1.6, x3 =0.4, x4 = 1.6, dan z maksimum sebesar 0.236. Artinya dengan mengalokasikan dana sebesar $0.4 juta untuk proyek pelatihan kerja, $1.6 juta untuk proyek taman kota, $0.4 juta untuk proyek sanitasi, dan $1.6 juta untuk perpustakaan keliling, maka diharapkan anggauta kongres tersebut akan mendulang suara sebesar 23.6% di distrik pemilihannnya.



1 komentar: