Model Program Linier

Model Kombinasi Produk

Quick-Screen merupakan perusahaan garmen yang khusus memproduksi kaus dalam pertandingan akbar, seperti misalnya World Cup. Perusahaan ini telah dikontrak untuk membuat kaos standar dengan gambar negara pemenang. Kaos yang diproduk si terdiri dari dua jenis, yakni kaos lengan panjang dengan gambar di satu sisi (depan) dan dengan gambar di dua sisi (depan dan belakang), jenis kedua adalah kaos lengan pendek dengan bentuk gambar serupa. Perusahaan harus menyelesaikan seluruh produksinya 72 jam setelah pertandingan final usai, di mana akan datang truk untuk mengangkut kaos tersebut. Perusahaan harus menyelesaikan produksi tepat waktu. Truk pengangkut memiliki kapasitas muatan sebanyak 1200 kardus ukuran standar. Satu box ukuran standar berisi 12 kaos lengan pendek, sementara satu kardus lengan panjang berukuran 3 kali lebih besar. Perusahaan memiliki dana $25.000 untuk memproduksi kaos, dan juga memiliki kaos lengan pendek & panjang polos masing2 500 lusin yang siap disablon. Persyaratan sumber daya, biaya, dan keuntungan per lusin untuk tiap jenis kaos disajikan pada tabel berikut :

Model Kombinasi Produk Lanjutan

	Waktu Proses (hr)   per lusin	Biaya ($)  per lusin	Keuntungan ($)per lusin
Kaos lengan panjang Satu sisi	0,10	36	90
Kaos lengan panjang Dua sisi	0,25	48	125
Kaos lengan pendek Satu sisi	0,08	25	45
Kaos lengan pendek Dua sisi	0,21	35	65

Perusahaan ingin mengetahui berapa lusin (kardus) tiap jenis kaos harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan ?

Formulasi Model Kombinasi Produk

·         Variabel keputusan

                Masalah ini memiliki 4 variabel keputusan, yakni :

                X1 = jumlah produksi kaos l. panjang gambar 1 sisi (lusin)

                X2 = jumlah produksi kaos l. panjang gambar 2 sisi (lusin)

                X3 = jumlah produksi kaos l. pendek gambar 1 sisi (lusin)

                X4 = jumlah produksi kaos l. pendek gambar 2 sisi (lusin)

·         Fungsi tujuan

                Maksimalkan Z = $ 90X1 + 125X2 + 45X3 + 65X4

                dengan Z adalah keuntungan.

·         Berdasarkan kendala

                0.1X1+0.25X2+0.08X3+0.21X4 £ 72         waktu produksi

                   3X1+    3X2+      X3+      X4  £ 1200     kapasitas truk

                36X1 +   48X2+  25X3+  35X4  £ 25000   dana yang tersedia

                   X1  +      X2                         £ 500      sediaan kaos panjang

                                X3+      X4  £ 500      sediaan kaos pendek

                X1, X2, X3, X4 ³ 0

Model Pemasaran

Perusahaan menganggarkan $8.000 per minggu untuk iklan pada 4 media: TV, Koran, Radio di Ibu kota, dan Radio di beberapa kota besar lainnya. Jangkauan iklan, biaya, dan batasan maksimum periklanan pada keempat media disajikan pada tabel berikut.  Perusahaan menetapkan beberapa rancangan :

                                i.  Minimal ada 5 spot iklan di radio

                                ii. Tidak lebih dari $1.800 dana dialokasikan pada

                                                            media radio.

                Perusahaan menginginkan jangkauan audience sebanyak-banyaknya melalui berbagai media iklan.

                Buat model matematisnya dan cari solusi optimalnya ?

Media	Daya jangkau (orang)	Biaya per iklan ($)	Iklan Maksimum per Minggu
TV (per mnt)	5.000	800	12
Koran (per halaman)	8.500	925	5
Radio 1 (per 30 detik)	2.400	190	25
Radio 2 (per mnt)	2.800	380	20

Formulasi Model Pemasaran

Variabel keputusan :

                X1 = lamanya iklan lewat TV (menit)

                X2 = banyaknya iklan lewat koran (halaman)

                X3 = lamanya iklan lewat radio Ibu-Kota (per 30 detikdetik)

                X4 = lamanya iklan lewat radio di beberapa kota besar (per menit)

Fungsi tujuan :

maksimumkan Z = 5000X1 + 8500X2 + 2400X3 + 2800X4

                Z : jangkauan audience (orang)

Berdasarkan kendala :

                800X1 + 925X2 + 190X3 + 380X4   £  8000  ®  dana yg dianggarkan

                      X1                                     £  12  ® iklan TV maksimum/ minggu

                                           X2                                £   5  ® iklan koran  maks/minggu

                                                          X3                  £  25  ® maksimum iklan radio                                                                                                  Ibukota/minggu

                                                                 X4   £  20  ® maksimum iklan radio di

                                                                                                                beberapa kota besar

                                                          X3 + X4   ³   5  ® jumlah iklan radio

                                                190X3 + 380X4   £  1800  ® alokasi biaya maks. Iklan

                                                                     radio

                X1, X2, X3, X4 ³ 0

Solusi Model Pemasaran

Solusi menggunakan software POM for Windows,

diperoleh :

                X1 = 2 (dibulatkan), X2 = 5, X3 = 9, X4 = 0, dan Z = 74100 (dibulatkan)

Artinya perusahaan harus mengiklankan usahanya setiap minggunya di TV selama 2 kali (masing2 1 menit), di koran 5 kali dalam seminggu (masing2 1 halaman), di radio Ibu-kota 9 kali dalam seminggu (masing2 selama 30 detik), tidak perlu mengiklankan lewat radio di kota2 besar, agar diperoleh jangkauan audience yang maksimal sebesar 74100.

Model Investasi
Kathleen Allen mempunyai dana $70.000 untuk diinvestasikan dalam beberapa pilihan, yakni : obligasi pemerintah sertifikat deposito dengan tingkat pengembalian, treasury bill, dan obligasi pendapatan, masing2 dengan tingkat pengembalian berturut-turut 8,5%, 5%, 6,5%, dan 13%. Jumlah waktu jatuh tempo sama untuk setiap pilihan. Akan tetapi, setiap pilihan mempunyai perbedaan risiko yang terlihat oleh investor. Oleh karena itu, investor sebaiknya melakukan diservifikasi. Investor ingin mengetahui berapa jumlah yang harus diinvestasikan pada setiap pilihan sehingga dapat memaksimalkan tingkat pengemba lian. Berikut ini pedoman dalam melakukan disersivikasi yang akan mengurangi risiko : 1) Tidak lebih dari 20% dari total investasi dalam bentuk obligasi pendapatan; 2) Jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito tidak melebihi jumlah yang diinvestasikan dalam ketiga pilihan yang lain; 3) Paling sedikit 30% investasi dalam bentuk treasury biil; 4) Agar aman, perbandingan investasi pada sertifikat deposito dan treasury bill dengan investasi dalam obligasi pemerintah dalam saham harus paling tidak 1,2 : 1.

                Kathleen merencanakan untuk menginvestasikan seluruh dana

Formulasi Model Investasi

·         Variabel keputusan

                                X1 = jumlah yang diinvestasikan dalam obligasi pemerintah ($)

                                X2 = jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito ($)

                                X3 = jumlah yang diinvestasikan dalam treasury bill ($)

                                X4 = jumlah yang diinvestasikan dalam obligasi pendapatan ($)

·         Fungsi tujuan

                                Maksimalkan Z = $ 0.085X1 + 0.05X2 + 0.065X3 + 0.13X4

                                                Z = total pengembalian investasi

·         Berdasarkan kendala :

                                1) X1 £  14,000   ®               (tidak lebih dr. 20% total investasi)

                                2) X2 £ X1 + X3 + X4 atau X1 – X2+X3+X4 ³ 0  ® jumlah yang diinvestasi-                kan dalam sertifikat deposito tidak melebihi jumlah ke 3 pilihan yg lain

3) X2 + X3 ³ 21,000   ® jumlah yang diinvestasikan dalam sertifikat deposito        dan treasury bill paling tidak 30% dari dana yang tersedia

                4) (X2+X3)/(X1+X4) ³ 1.2 atau X2 + X3 ³ 1.2(X1 + X4) atau

– 1.2X1 + X2 + X3 – 1.2X4 ³ 0  ® perbandingan jumlah diinvestasikan      dalam sertifikat deposito dan treasury bill dengan obligasi pemerintah               dan obligasi pendapatan paling tidak 1.2 : 1

                5) X1 + X2 + X3 + X4 £ 70,000 ® dana yang akan diinvestasikan

                6) X1, X2, X3, X4 ³ 0

Model Program Diet / Campuran Resep

Perusahaan Soutfork Feed Co, memproduksi produk pakan yang merupakan campuran dari 4 macam bahan : gandum, jagung, kedelai, dan suplemen vitamin.

Perusahaan itu memiliki stok gandum 300 lbs, jagung 400 lbs, kedelai 400 lbs, dan vitamin 100 lbs. resep campuran pakan adalah sebagai berikut : (1) minimal mengandung 30% kedelai; (2) minimal mengandung 20% vitamin; (3) perbandingan antara jagung dengan gandum tidak boleh melebihi 2 : 1; (4) jumlah gandum tidak boleh melebihi jumlah kedelai; volume total campuran minimal 500 lbs.

1 lb gandum berharga $ 0,5; 1 lb jagung $ 1,20; 1 lb kedelai $ 0,60; sedangkan vitamin berharga $ 2,0 per lb. Perusahaan ingin menentukan jumlah optimal dari setiap bahan sesuai dengan resep campuran dengan biaya paling minimal.

                a) formulasikan model program linier untuk masalah ini.

                b) hitung solusi optimal dari model dengan menggunakan komputer.

Solusi :

`               (a)          Formulasi model program linier

                                variabel keputusan:

                                x1 : jumlah campuran gandum (lb)

                                x2 : jumlah campuran jagung (lb)

                                x3 : jumlah campuran kedelai (lb)

                                x4 : jumlah campuran vitamin (lb)

                                Fungsi tujuan : minimumkan z = 0,5x1 + 1,2x2 + 0,6x3 + 2,0x4,

                                dengan z : biaya membuat campuran pakan.

                                Berdasarkan kendala :

1)      - 3x1 – 3x2 + 7x3 – 3x4 ³ 0 ®  minimal mengandung 30% kedelai

2)      -   x1 –  x2  –  x3 + 4x4 ³ 0 ®  minimal mengandung 20% vitamin

3)         2x1 -  x2                   ³ 0 ®  perbandingan antara jagung dengan

                                                     gandum tidak boleh melebihi 2 : 1

4)      -   x1         +  x3          ³ 0 ®  jumlah gandum tidak boleh melebihi

                                                     kedelai

5)      X1   + x2   + x3   + x4  ³ 500 ® volume total campuran paling

                                                             sedikit 500 lbs

                x1, x2, x3, x4 ³ 0                   ® kendala non negatip.

(b) Solusi menggunakan software POM for Windows, diperoleh :

                x1 = 200, x2 = 0, x3 = 200, x4 = 100, dan z minimum = 420.

Artinya untuk memproduksi pakan dengan biaya yang paling murah

(minimum) sebesar $ 420 adalah campuran : 200lb gandum, tanpa

campuran jagung, 200 lb kedelai, dan 100 lb suplemen vitamin.

Model Analisis Kumpulan Data (DEA)

Sebagai implementasi dari sebuah undang2 yang baru dikeluarkan, seorang anggauta konggres dari suatu distrik mendapat alokasi anggaran sebesar $4 juta untuk beberapa program & proyek. Menjadi kewenangan anggauta kongres untuk melakukan distribusi penggunaan dana tersebut. Berdasarkan tingkat kepentingan terhadap pembangunan distrik dia telah menetapkan bahwa dana tersebut akan dialokasikan pada 4 buah proyek yang saat ini telah berjalan, yakni program pelatihan kerja, proyek taman kota, proyek sanitasi, dan perpuskaan keliling.  Walaupun demikian anggauta kongres tersebut ingin memastikan bahwa  pembagian dana tersebut akan memberikan kepuasan yang paling besar untuk para pemilihnya, dengan kata lain pembagian itu harus dapat meningkatkan perolehan suara yang paling besar pada pemilu yang akan datang. Oleh karena  itu, para stafnya telah melakukan riset tentang seberapa besar potensi masing2  proyek untuk dapat mendulang suara bagi sang anggauta kongres. Didapatkan  hasil penelitian tentang berapa besar suara yang dapat didapatkan untuk setiap dolar yang diinvestasikan pada setiap proyek sebagai berikut :

Proyek	Jumlah suara/dolar
Pelatihan kerja	0.02
Taman	0.09
Sanitasi	0.06
Perpustakaan	0.04

Selain itu terdapat beberapa kendala yang harus dipenuhi berkaitan dengan aspirasi dari beberapa tokoh2 yang berpengaruh dan juga merupakan penyandang dana utama kampanyenya :

•          Tidak boleh ada proyek yang mendapatkan lebih dari 40% alokasi dana

•          Jumlah alokasi dana untuk taman tidak boleh melebihi total alokasi untuk sanitasi dan perpustakaan keliling.

•          Jumlah alokasi untuk pelatihan kerja harus paling sedikit sama dengan alokasi dana untuk proyek sanitasi.

Semua dana harus habis terbagikan

Variabel keputusan :

                x1 : jumlah dana yang dialokasikan pada program pelatihan kerja

                x2 : jumlah dana yang dialokasikan pada program taman kota

                x3 : jumlah dana yang dialokasikan pada program sanitasi

                x4 : jumlah dana yang dialokasikan pada program pelatihan kerja

Fungsi tujuan : maksimalkan z = 0.02x1 + 0.09x2 + 0.05X3 + 0.04x4

z : kontribusi dana dalam rangka mendapatkan suara pada pemilu mendatang.

Berdasrkan kendala :

                x1                                                                           £ 1.6

                      x2                                                     £ 1.6

                                      x3                                                     £ 1.6

                                                x4                                           £ 1.6

                      x2     – x3 – x4                                               £ 0

                x1           -  x3                                        ³ 0

                x1 + x2 + x3  + x4                                              = 4

                x1, x2, x3, x4 ³ 0

Solusi menggunakan software POM for Windows, diperoleh :

                x1 = 0.4, x2 = 1.6, x3 =0.4, x4 = 1.6, dan z maksimum sebesar 0.236. Artinya dengan mengalokasikan dana sebesar $0.4 juta untuk proyek pelatihan kerja, $1.6 juta untuk proyek taman kota, $0.4 juta untuk proyek sanitasi, dan $1.6 juta untuk perpustakaan keliling, maka diharapkan anggauta kongres tersebut akan mendulang suara sebesar 23.6% di distrik pemilihannnya.

Teknik Artificial Variabel

Progam Linier dg kendala ³ atau = : Metode Teknik M

Pembahasan yang kemarin hanya kendala bertanda ≤ , maka berikutnya artikel ini selanjutnya untuk kendala bertanda  ≥ dan atau bertanda =

Untuk menyelesaikan kasus tersebut kita memerlukan variable dummy (variable palsu) atau artificial var. sehingga basis awal bisa tetap ada .

Untuk tanda ≥ masih menggunakan variable S dan R sedangkan untuk tanda (=) menggunakan variable dummy R saja.

Contoh :

                                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

                                Berdasarkan kendala :

                                                X1              ≥ 4

                                                           2X2 ≥ 12

                                                3X1 + 2X2 = 18

                                                X1, X2 ≥ 0

PL dg kendala ³ atau = lanjutan

Jika dituliskan dalam  bentuk standar :

                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2 +0S1 + 0S2 – MR1– MR2 – MR3

                Atau

                 Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2  + MR1 + MR2 + MR3 = 0

                                X1                 - S1            +   R1                             = 4

                                           2X2           – S2                  + R2                = 12

                       3X1  + 2X2                                                   + R3  = 18

                                                X1, X2 , S1 , S2 , R1 , R2 , R3 ≥ 0

Perhatikan bahwa penalty M di atas bertanda (–) karena fungsi tujuannya maksimasi, jika fungsi tujuannya minimasi, maka penalty bertanda (+), dengan M adalah bilangan yang cukup besar.

Contoh 1 Solusi PL dg Teknik M

Metoda Big M (metode penalty)

                Contoh 1 : Cari solusi PL berikut ini

                Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

                                Berdasarkan kendala :

                                                X1              ≤ 4

                                                           2X2 ≤ 12

                                                3X1 + 2X2 = 18

                                                X1, X2 ≥ 0

                Penyelesaian :

Karena pembatas ketiga bertanda ( = ), maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variable artificial sehingga diperoleh bentuk :

                Maksimumkan :

                                Z = 3X1 + 5X2 + 0.S1 + 0.S2 – MR1

Contoh 1 Solusi PL dg Teknik M

Berdasarkan kendala :

                                X1              + S1                 = 4

                                2X2                  + S2           = 12

                                3X1 + 2X2                + R1 = 18

                                X1, X2, R1 , S1, S2 ≥ 0

Untuk memasukan model diatas kedalam bentuk table, maka terlebih dahulu subtitusikan R1 dari persamaan kendala ketiga :

                                R1 = 18 - 3X1 + 2X2

                Kemudian masukan kedalam persamaan Z :

                                Z = 3X1 + 5X2 + 0.S1 + 0.S2 – M(18 - 3X1 + 2X2 )

                Atau

                                Z = (3M + 3)X1 + (2M – 5)X2 + 0.S1 + 0.S2 – 18M     atau

                                Z - (3M + 3)X1 - (2M – 5)X2 - 0.S1 - 0.S2 = -18M

V. BASIS	Z	X1	X2	S1	S2	R1	RK	RATIO
Z	1	-3M-3	-2M-5	0	0	0	-18M
S1	0	1	0	1	0	0	4	4/1 = 4
S2	0	0	2	0	1	0	12	abaikan
R1	0	3	2	0	0	1	18	18/3 = 6
V. BASIS	Z	X1	X2	S1	S2	R1	RK	RATIO
Z	1	0	-2M-5	3M+3	0	0	-6M+12
X1	0	1	0	1	0	0	4	abaikan
S2	0	0	2	0	1	0	12	12/2=6
R1	0	0	2	-3	0	1	6	6/2=3

Sehingga tabel simpleks awal (iterasi 0)  dan iterasi ke 1 diberikan dalam tabel berikut ini:

Contoh 1 Solusi PL lanjutan

• Terlihat pd. Tabel 1 (iterasi 0), X1 terpilih sebagai entering var. (koef. Negatip terbesar) dan S1 terpilih sebagai leaving var. (memp. Ratio terkecil).
• Karena koef. Entering var. untuk S1 adalah 1, pers. poros baru (X1) pada Tabel 2 sama dengan pers poros lama (S1) pada Tabel 1.
• Pers. Z yg baru = Pers. Z yg lama – koef. Entering x pers. poros baru

baris Z baru = Z lama – (3M+3) x pers./baris poros baru ® ini merupakan OBE (operasi baris elementer).

• Pers. R1 yg baru = pers. R1 yg lama – koef. Entering x pers.poros baru

baris R1 baru = baris R1 lama – 3 x per./baris poros baru.

• Hasil selengkapnya ditampilkan pada Tabel 2 (iterasi 1).
• Dari Tabel 2, X2 terpilih sebagai entering v. dan R1 terpilih sebagai leaving var., dan pers. /baris Z, X1 yang baru dihitung seperti halnya

Contoh 1 Solusi PL lanjutan

pada iterasi sebelumnya, sehingga diperoleh hasil sebagai mana ditampilkan pada iterasi 2 (Tabel 3).

·         Dari iterasi 3 (Tabel 4), tampak bahwa koef. Pers. /baris Z berharga positip atau nol, sehingga solusi yang optimal telah diperoleh.

·         Solusi yang optimal adalah : Z = 36, X1 = 2, dan X2 = 6 (harga-harga tersebut dilihat pada kolom RK).

V. BASIS	Z	X1	X2	S1	S2	R1	RK	RATIO
Z	1	0	0	-9/2	0	(M+5)/2	27
X1	0	1	0	1	0	0	4	4/1 = 4
S2	0	0	0	3	1	-1	6	6/3=2
X2	0	0	1	-3/2	0	1/2	3	abaikan
V. BASIS	Z	X1	X2	S1	S2	R1	RK	RATIO
Z	1	0	0	0	3/2	M+1	36
X1	0	1	0	0	-1/3	1/3	2
S1	0	0	0	1	1/3	-1/3	2
X2	0	0	1	0	1/2	0	6

Contoh 2 Solusi PL dgTeknik M

Penyelesaian :

Minimumkan 

Z = 3x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 + MR1 + MR2

      3x1  +  x2  -   s1                 + R1           = 20

   .25x1 +  .5 x2     +  s2                                =  4

       x1 +      x2                            +    R2    = 10

                x1 ³ 0, x2 ³ 0, s1, s2, R1, R2 ³ 0

dengan M bilangan yang besar

Substitusikan R1 = 20 - 3x1 - x2 + s1     dan

                          R2 = 10 - x1 - x2     pada pers. Z, diperoleh :

Z = 3x1+2x2+M(20 - 3x1 - x2 + s1) + M(10 - x1 - x2)

Atau Z = (-4M+3)x1 + (-2M+2)x2 +Ms1 + 30M

Atau Z + (4M-3)x1 + (2M-2)x2 – Ms1 = 30 M

Var. Basis	x1	x2	s1	s2	R1	R2	RK
Z	4M-3	2M-2	-M	0	1	0	30M
R1	3	1	-1	0	1	0	20
s2	.25	.5	0	1	0	0	4
R2	1	1	0	0	0	1	10

Pers. Z yg mempunyai koef. positip terbesar adalah x1 sebesar 4M-3, sehingga x1 menjadi entering v., sedangkan yang mempunyai ratio terkecil adalah R1 sebesar 20/3 , sehingga R1 menjadi leaving variable

	x1	x2	s1	s2	R1	R2	RK
Z	0	2/3M-1	M/3-1	0	-4/3M+1	0	10M/3+20
x1	1	1/3	-1/3	0	1/3	0	20/3
s2	0	5/12	1/12	1	-1/12	0	7/3
R2	0	2/3	1/3	0	-1/3	1	10/3

Pers. lain yang baru = pers. lain yang lama – koef. Entering x pers. poros baru seperti tampak pada Tabel 2. Selanjutnya x2 menjadi entering var. sedangkan R2 menjadi leaving var. dan diperoleh Tabel 3 berikut ini.  Tampak pada Tabel 3, koef Z berharga negatip atau nol, sehingga solusi optimal tercapai dengan Z = 25, x1 = 5, dan x2 = 5.

	x1	x2	s1	s2	R1	R2	RK
Z	0	0	-1/2	0	-M+1/2	-M+3/2	25
x1	1	0	-1/2	0	1/2	-1/2	5
s2	0	0	-1/8	1	1/8	-5/8	1/4
x2	0	1	1/2	0	-1/2	3/2	5

Contoh Soal 3 PL dg Teknik M

Perusahaan minuman Bevco memproduksi  minuman tanpa alkohol Super-Orange. Super-Orange dibuat dengan  mengkombinasikan  air soda rasa jeruk  dengan  jus jeruk. Setiap  air soda rasa jeruk mengandung 0.5 ons gula dan 1 mg vitamin C. Setiap  ons jus  jeruk mengandung 0.25 oms gula dan 3 mg vitamin C. Biaya untuk memproduksi 1 ons air soda rasa jeruk adalah  2¢, sedangkan 1 ons jus jeruk diproduksi dengan biaya 3¢. Bagian pemasaran perusahaan Bevco memutuskan bahwa setiap botol Super-Orange ukuran  10-ons paling sedikit mengandung 30 mg vitamin C dan paling banyak 4 ons gula. Dengan menggunakan program linier, bagaimana Bevco dapat memenuhi kebutuhan bagian pemasaran dengan biaya produksi minimum.

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M

Misalkan :

       x1 = besarnya kandungan (ons) air soda rasa jambu dalam botol

       x2 = besarnya kandungan (ons) jus apel dalam botol

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M    

Persoalan di atas mempunyai model PL sbb. :

min z = 2x₁ +    3x₂ , dengan Z adalah biaya produksi      

Berdasarkan kendala :  

                0.5x₁  + 0.25x₂   ≤  4           (gula)

                   x₁ +    3x₂      ≥ 20             (Vitamin C)

                   x₁ +     x₂      = 10              (10 ons dalam 1 botol)

                   x₁, x₂   ³ 0

Bentuk standar PL masalah ini ditampilkan dalam slide berikut :

Solusi Masalah Menggunakan Metode Big M

Baris 1 : -z  +  2x₁  +        3x₂              = 0

Baris 2 :                        0.5x₁  +   0.25x₂ + s₁      =  4

Baris 3 :                             x₁ +         3x₂       - s₂ = 20

Baris 4 :                             x₁ +           x₂             = 10

Dengan menggunakan teknik artificial variables,  yakni dengan menambahkan variabel artifisial a2 pada baris ketiga dan a3 pada baris keempat. Variabel a2 dan a3 ditulis hitam, maka diperoleh :

Baris 1 : -z  +  2x₁ +      3x₂                     = 0

Baris 2 :                       0.5x₁  + 0.25x₂ + s₁                             =  4

Baris 3 :                            x₁ +      3x₂         - s₂ + a₂                = 20

Baris 4 :                            x₁ +        x₂                       + a₃  = 10

Solusi Contoh Soal 3

Jika iterasi ini diteruskan akan diperoleh solusi :

                x1 = x2 = 5, dan z = 25.

Artinya perusahaan itu akan memenuhi tuntutan bagian pemasaran dengan menentukan kandungan air soda rasa jeruk (x1) dan kandungan jus jeruk (x2) dalam botol sebesar 5 ons agar biaya (z) memproduksi air soda rasa jeruk dan jus jeruk minimal sebesar 25¢.

Catatan : solusi ini diperoleh dengan menggunakan software POM for Windows.

Metode Dua Phasa

·         Digunakannya konstanta M ( bilangan positif yang sangat besar) sebagai penalty, bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan computer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien fungsi tujuan relative sangat kecil dibandingkan dengan harga M sehingga computer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol. Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan metoda dua fase. Disini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase sebagai berikut :

·         Fase 1 : Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variable artifisialnya. Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol, berarti persoalan memiliki solusi fisibel, lanjutkan ke fase 2 tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel.

                STOP

Lanjutttt besokk